Kalejdoskop Matematyczny cz. 10

"Kalejdoskop Matematyczny" Hugo Steinhaus, Warszawa, 1954.

Kalejdoskop Matematyczny cz.9 < Poprzednia część

Nieskończony ułamek wyrażający  nie jest najprostszy. Najprostszym ułamkiem nieskończonym jest oczywiście:
                    1
             1 + ―    1
                    1 + ―    1
                           1 + ―
                                  1 + ...

Niech x będzie wartością tego ułamka. Pod pierwszym licznikiem (najwyższą jedynką) stoi taki sam ułamek, jak całe wyrażenie, więc jest

            x = ― ( + 1) = 1,618…

Nazwijmy „złotym” prostokąt:

który po odcięciu kwadratu pozostawia resztę podobną do całości. Nazwijmy jego boki a, b. Będzie:

a : b = b : (a - b),

a² - ab = b²,

(a / b)² - (a / b) = 1.

Ułamek a / b spełnia to samo równanie, co x; wobec tego jest równy ( + 1)/2. Ta liczba jest niewymierna (dlaczego?), więc żadne całkowite a, b nie dadzą złotego prostokąta. Możemy jednak postąpić jak z : obcinając nieskończony ułamek kolejno po pierwszym, drugim, trzecim itd. znaku plus otrzymujemy:

1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, ...

Te ułamki coraz bardziej zbliżają się do złotej liczby 1,618... Liczniki 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... nazywają się liczbami Fibonacciego. Otrzymuje się je przez kolejne dodawanie rozpoczynając od 1 +1:

1 + 1 = 2,     1 + 2 = 3,     2 + 3 = 5,    3 + 5 = 8,    5 + 8 = 13, ...

n-ta liczba Fibonacciego jest:

Można to udowodnić indukcją matematyczną. (Jak?).

Gdy pień:

puszcza po roku nową gałąź, potem zawsze przez rok wypoczywa i dopiero po następnym roku znowu wydaje gałąź — i tak samo zachowuje się każda gałąź, to w pierwszym roku mamy tylko pęd główny, w drugim 2 gałęzie, w następnym 3, potem 5, 8, 13, ... jak w ciągu Fibonacciego.

Dziedzińce pałacu,

otoczone kolumnadami, mają stosunek boków bliski złotej liczby. Złotym nazywa się taki podział odcinka, że całość jest w tym samym stosunku do większej części, co większa część do mniejszej. Wtedy te stosunki są równe liczbie złotej. (Dlaczego?).

Możemy złoty prostokąt (33) rozłożyć na nieskończenie wiele kwadratów odcinając od niego kwadrat, od pozostałego prostokąta kwadrat itd. Na rysunku widać, że wierzchołki kwadratów leżące wewnątrz dużego prostokąta tworzą dwie linie proste: jedna jest przekątną dużego prostokąta, druga — przekątną prostokąta pozostałego po odcięciu kwadratu. (Dlaczego?). Ten rozkład na kwadraty jest geometrycznym odpowiednikiem ułamka nieskończonego z samych jedynek.

Gdy trzej jeźdźcy pilnują trzody na kwadratowym pastwisku, prawdopodobnie podzielą kwadrat na trzy prostokąty

i staną w środkach prostokątów, a każdy będzie uważał tylko na swój prostokąt.

Jeżeli jednak pasterz C jest sprytniejszy od swoich kolegów, namówi ich na nowy podział — tak, żeby

każdy miał ten sam dystans do najdalszego punktu swojej części. Ten dystans jest równy połowie przekątnej nowych prostokątów, ale jest mniejszy niż w dawnym podziale.

Po pewnym czasie A i B zorientują się, że mają większe pola pod nadzorem niż C i zaproponują nowe rozgraniczenie,

które nie zmieni stanowisk ani też odległości najdalszych punktów, ale spełni słuszny warunek, że każdy punkt ma podlegać temu pasterzowi, któremu do niego najbliżej.

Ale wciąż jeszcze C ma mniejsze pole do nadzorowania niż jego towarzysze. B wymyśli nowe ulepszenie,

które powiększy pole podległe pasterzowi C, tak, że pola będą równe, a stanowiska zostaną te same i najdalsze punkty się nie zmienią.

Gdy ten plan przyjęto, A spostrzega, że jego warunek najbliższego pasterza został naruszony. Ale C ma na to radę: pokazuje,

iż wystarczy, by A i B przesunęli swoje stanowiska, a bez zmiany granic warunek najbliższego będzie uratowany. A i B usłuchali rady, ale wkrótce odkryli, że mają do swoich najdalszych punktów dalej niż C do swojego. W końcu wszyscy trzej zgodzili się na najdawniejszy podział — na jednakie prostokąty.

Następna część > C.D.N...